مقاله مجموعه‌هاي مركزي و شعاع‌ها در گراف‌هاي مقسوم عليه صفر از حلقه‌هاي جابجائي

دسته بندي : علوم پایه » ریاضی
مقاله مجموعه‌هاي مركزي و شعاع‌ها در گراف‌هاي مقسوم عليه صفر از حلقه‌هاي جابجائي در 29 صفحه ورد قابل ويرايش

فهرست

عنوان

پيش گفتار .........................................................................................................

خلاصه‌ي مطالب ................................................................................................

1فصل اول

1-1مقدمه .........................................................................................................

1-2پيش نيازها ..................................................................................................

تعاريف ...................................................................................

قضيه ها....................................................................................

2فصل دوم

2-2مركز ...........................................................................................................

2-3 ميانه ..........................................................................................................

2-4 مجموعه هاي غالب ....................................................................................

منابع ...........................................................................................................................


خلاصه‌ي مطالب

برآن شدم تا با تلاش مستمر مطالبي را از نظر گراميتان بگذرانم كه بديع باشد و قابل ارائه، اميدوارم رضايت خاطر شما خوانندگان گرامي را جلب نمايم. دراين‌جا خلاصه‌اي از مطالبي كه مطالعه خواهيد كرد آورده شده است.

دريك حلقه‌ي جابجايي و يكدار R، گراف مقسوم عليه صفر ، گرافي است كه رأس هاي آن مقسوم عليه هاي صفر غيرصفر R مي باشند كه درآن دو رأس مجزاي xو y مجاورند هرگاه xy=0. اين مقاله اثباتي براين مطلب است كه اگر R نوتري باشد آن گاه شعاع ،0،1 و يا 2 مي باشد و نشان داده مي‌شود كه وقتي R آرتيني مي‌باشد اجتماع مركز با مجموعه {0} اجتماعي از ايده آل هاي پوچ ساز است. زماني كه مركز گراف مشخص شده باشد مي توان قطر را تعيين كرد و نشان داده مي‌شود كه اگر R حلقه‌ي متناهي باشد آن گاه ميانه زير مجموعه اي از مركز آن است. زماني كه R آرتيني باشد با به كاربردن عناصري از مركز مي‌توان يك مجموعه‌ي غالب از ساخت و نشان داده مي شود كه براي حلقه‌ي متناهي ، كه F ميدان متناهي است، عدد غالب مساوي با تعداد ايده آل هاي ماكسيمال مجزاي R است. و هم‌چنين نتايج ديگري روي ساختارهاي بيان مي‌شود.

واژه هاي كليدي

مجموعه هاي مركزي؛ حلقه‌ي جابجايي؛ مقسوم عليه صفر؛ گراف مقسوم عليه صفر


فصل اول

1-مقدمه

حلقه‌ي جابجايي و يكدار R داده شده است. گراف مقسوم عليه صفر، ، گرافي است كه رأس هاي آن مقسوم عليه هاي صفر غيرصفر حلقه R مي باشند، بين دو رأس مجزاي x و y يال وجود دارد اگر وفقط اگر xy=0 باشد. گراف مقسوم عليه صفر حلقه‌ي R با نشان داده مي شود. اين تعريف از ابتدا توسط livings Ston (1999) و Anderson بيان شد كه تعداد زيادي از ويژگي هاي اساسي مورد بررسي قرار گرفت. تعريف اصلي توسط Beck (1988) و Nasser (1993) و Anderson بيان شد كه همه‌ي عناصر حلقه به عنوان رأس هاي گراف انتخاب مي شدند.

و Anderson et al.(2001) , De meyer and Schnieider (2002), Smit (2002) مقاله‌هاي ديگري درارتباط با گراف مقسوم عليه صفر از حلقه هاي جابجايي ارائه دادند. اين ساختار هاي گرافيكي به شكل موضوع هاي جبري ديگر توسط Cannon et al.(2005) and DeMeyer et al.(2002), Redmond (2002)2003,2004) تعميم داده شده است، كه در ادامه به آن مي پردازيم.

درطول اين پژوهش برآنيم كه نتايجي را روي حلقه هاي يكدار و جابجايي متناهي بيابيم. اين نتايج براي عمومي ترين موارد ممكن بيان مي شود. هدف ارائه دادن همه‌ي نظريه هاي كاربردي از مركزيت گراف و تحقيق درمورد مفاهيم تقريباً محض از گراف هاي مقسوم عليه صفر مي باشد. ابتدا نشان داده مي شود كه شعاع هاي گراف مقسوم عليه صفر يك حلقه نوتري و جابجايي و يكدار 0، 1، 2 مي‌باشد. اين قضيه دربخش هاي بعدي براي تعريف خصوصيات سه مجموعه مركزي (مركز، ميانه و مجموعه هاي غالب با اندازه‌ي مي نيمال) درگراف هاي مقسوم عليه صفر از حلقه‌هاي جابجايي و يكدار به كاربرده مي شود. و نيز ارتباط بين اين مجموعه ها مورد بررسي قرار مي گيرد. به عنوان پيامدي از اين نتايج، ويژگي هاي ديگري از را بيان مي كنيم كه از جمله‌ي آن ها قطر و كران ها روي تعداد يال هاي گراف مي‌باشد.

2-پيش نيازها

بالطبع لازمه‌ي پردازش به مبحث مجموعه هاي مركزي و شعاع ها در گراف هاي مقسوم عليه صفر حلقه هاي جابجايي واقف بودن به تعاريفي است كه آن را بايد پيش نياز ناميد:

تعريف 1.2.1 پوچ ساز (annihilator) x مجموعه‌ي عناصر مي باشد به طوري كه xy=0 به عبارت ديگر

تعريف 2.2.1عنصر ناصفر x درحلقه‌ي R را يك مقسوم عليه صفر (zero dirisor) گوييم هرگاه عنصر ناصفري از R مانند موجود باشد به طوري كه xy=0.

مجموعه‌ي مقسوم عليه هاي صفر حلقه‌ي R را با Z(R) نشان مي دهيم كه به صورت زير مي‌باشد:



تعريف 3.2.1عنصر راعنصر پوچ توان R (nillpotent) مي ناميم هرگاه موجود باشد به طوري كه xn=0.

تذكر: بديهي است كه هر عنصر پوچ توان يك مقسوم عليه صفر حلقه مي‌باشد.

تعريف 4.2.1 پوچ راديكال (nillradical) حلقه‌ي R ايده آلي شامل همه‌ي عناصر پوچ توان حلقه R مي باشد كه به صورت nill (R) نمايش داده مي شود.

تعريف 5.2.1اشتراك همه‌ي ايده آل هاي ماكسيمال حلقه‌ي R را راديكال جيكوبسن R (Jacobson) مي ناميم و با J(R) نمايش مي دهيم.

تعريف 6.2.1 حلقه‌ي R راتحويل يافته يا تقليل يافته (reduced) مي ناميم هرگاه عنصر پوچ توان غيرصفر نداشته باشد.

اكنون مروري داريم بر بعضي از تعريفات و نمادهاي نظريه گراف:







حال فرض كنيم حلقه تحويل ناپذير باشد پس .

فرض كنيم كه Pi ها ايده آل هاي اول مينمال مي‌باند. به ازاي هر i=1,….,N . وجود دارد به طوري كه Pi=ann(ai). در نظر مي گيريم:

يك مسير مي‌باشد x-aj-7 و يك مسير است،

پس خروج از مركز v حداكثر 2 است پس شعاع حداكثر 2 مي باشد.

با به كاربردن نتايج بالا يك نتيجه از تئوري حلقه ها را در ادامه بدست مي آوريم:

نتيجه 11.1.2 فرض كنيد R يك حلقه ي جابجايي و يكدار نوتري باشد و R حوزه صحيح نباشد آن گاه يك به طوري xy=0 يا مي باشد براي هر .


2.2-مركز

ثابت شد كه شعاع گراف مقسوم عليه صفر از يك حلقه ي جابجايي 0، 1و 2 است. مشخص كردن مركز گراف هدف بعدي مي باشد. همانطور كه از نتايج قبل انتظار مي رود دانستن دو نكته زير الزامي است.

اگرشعاع گراف مقسوم عليه صفر، صفر باشد آنگاه گراف يك رأس دارد. پس مركز داراي نتها يك رأس مي باشد.

اگرشعاع گراف مقسوم عليه صفر، 1 باشد آن گاه عناصر مركز دقيقاً همان عناصر با خروج از مركز 1 مي باشند.

ولم 1.2.2 فرض كنيد (R,M) يك حلقه‌ي جابجايي و يكدار آرتينييي و موضعي باشد كه حوزه صحيح نيست اگر x يك عضو از مركز باشد آن گاه x2=0 مي باشد.

برهان: R يك حقله‌ي آرتينييي است پس وجود دارد به طوري كه Mk={0}. چون هر عضو غير صفر Mk-1 داراي خروج از مركز 1 مي باشد پس مي باشد.

برهان خلف : فرض مي كنيم x درمركز گراف باشد و و زيرا در غير اين صورت كه يك تناقض مي باشد. پس و بنابراين x2 نيز عضو ديگري از مركز گراف مي باشد. از آن‌جايي كه e(x)=1 و x3=x(x2)=0 پس زيرا درغير اين صورت يعني اگر x2+x=0 پس x2=(-x2)2=x4=0 كه اين يك تناقض است. بنابراين x2+x نيز عضوي ديگر از از مركز گراف مي باشد.

قضيه 2.2.2 فرض كنيد R يك حلقه‌ي جابجايي و يكدار نوتري باشد به طوري كه شعاع ، 0يا 1 باشد آن گاه مركز :

(A) اگر z(R) يك ايده ال باشد، است.

(B) اگر ، {(0,1),(1,0)} است.

(C) اگر كه A يك حوزه صحيح نامساوي مي باشد، {(1,0)} است.

نتيجه 3.2.2 فرض كنيد R يك حلقه‌ي جابجايي و يكدار نوتري باشد به طوري كه شعاع 0يا 1 باشد آن‌گاه مركز :

(A) اگر R موضعي با ايده ال ماكسيمال M باشد، (0-z(R)-{0} است.

(B) اگر ، {(0,1),(1,0)} است.

(C) اگر ، كه F ميدان متناهي مخالف است، {(1,0)} مي باشد.

با توجه به مفروضات بالا انتظار داريم درمواردي كه مركز اجتماع {0} درگراف يك ايده ال باشد همچنين در تمامي موارد مركز اجتماع صفر اجتماعي از ايده ال هاي پوچ ساز ماكسيمال مي باشد. درمورد (A) مركز اجتماع {0}، (0,M)=ann(M) درمورد (B و درمورد (C) ann({0}A). علاوه بر اين قابل توجه است كه درموارد (B) و (C) راديكال جيكوبسون R صفر مي باشد. اگر R موضعي و آريتني باشد آن گاه به عنوان مثال اگر مركزاست. اگر ، {9x,18x} مي باشد. حال قبل از بررسي ويژگي هاي كلي يك حالت خاص را بررسي مي كنيم.

قضيه 4.2.2 [8;1-14] فرض كنيد R يك حلقه‌ي جابجايي باشد. اگر كه S,T حوزه صحيح مي باشند آن گاه يك گراف دو بخشي كامل است.

قضيه 5.2.2 اگر R يك حلقه‌ي جابجايي باشد و كه S,T حوزه‌ي صحيح‌اند و هيچكدام با يكريخت نيستند. آن گاه شعاع ، 2 مي باشد و مركز مجموعه ي تمام رأس هاي مي باشد.

دراين جا مركز اجتماع صفر يك ايده آل نيست اما اجتماعي از پوچ سازها از دو ايده ال ماكسيمال زير مي باشد. از طرفي دراين مورد J(R)={0}.

قضيه 6.2.2 فرض كنيد m,n دو عدد صحيح مثبت باشند و
كه هر Ri يك حلقه‌ي موضعي جابجايي و يكدار آرتيني است كه ميدان نيست و هر F­i يك ميدان مي باشد. براي هر j=1,…,m ايده آل
را تعريف مي كنيم، آن گاه مركز گراف مي باشد.

برهان : براي اين كه نشان دهيم كه رئوس مجموعه‌ي مركز در اجتماع بالا مي باشند بايد هر عضوي كه درآن مي گيريم به فاصله كمتراز 2 ازديگر رئوس گراف قرار داشته باشد.

عضو دلخواه a را از مجموعه رئوس درنظر مي گيريم : a=(a1,…,an,b1,…,bm) كه با توجه به نتيجه‌ي 9.1.2 كافي است نشان دهيم :



به ازاي هر I=1,…,n فرض مي كنيم Mi يك ايده آل ماكسيمال Ri باشد. پس

و فرض مي كنيم x=(x1,…,xn,0,…,0) كه مي باشد.

بدون كاسته شدن از كليت مسأله: رادر نظر مي گيريم. چون يك يال بين آنها موجود است طبق تعريف گراف :

if Vi xiai=0 d(x,a)=1

پس و حكم ثابت مي شود. چون بوده پس در اجتماع بالا قرار دارد. حال فرض كنيم :

چون Rj حلقه‌ي موضعي مي باشد پس radius، بنابراين با e(yj)=1 وجود دارد.

تعريف مي كنيم y=(0,…,0,yj,0,…,0) كه و و و و x-y-a يك مسير در مي باشد. اگر و aj=1 آن گاه به ازاي هر ، bk=0 مي باشد.

اكنون z=(0,…,0,1,0,..,0) را در نظر مي گيريم كه درايه هاي غيرصفر Fk هماني اند و پس x-z-a يك مسير در مي باشد بنابراين درهردو حالت .

حال فرض كنيم به ازاي هر j=1,..,m بدون كاسته شدن از كليت مسأله درنظر مي گيريم.



و a=(a1,…,an,b1,…,bm) اگر bj=0 آن گاه va=0 و d(v,a)=1 . اگر bk=. براي هر آن گاه تعريف مي كنيم y=(0,…,0,1,0,…,0) كه درايه غير صفر Fk هماني مي باشد و پس v-y-a يك مسير در مي باشدو اگر پس درايه ah براي يك مقسوم عليه صفر Rh مي باشد.

پس وجود دارد به طوري كه chah=0 و c=(0,…,ch,0,..,0) و پس r-c-a يك مسير در است و d(a,v)=2 پس در تمامي حالات وحكم ثابت مي شود.

حال فرض مي كنيم z=(d1,…,d­n,F1,…,Fm) عضوي از اجتماع بالا نباشد نشان مي‌دهيم در مركز گراف قرار ندارد. يعني اگر باشد آن گاه . پس طبق نتيجه 4-2 بايد و ann(w)nann(z)={0}

حالت اول :

تعريف مي كنيم w=(1,…,1,0,1,..,1) كه صفر درمكان n+i ام قرار دارد. پس و ann(w)=Ii پس ann(w) ann(z)={0}

حالت دوم : به ازاي هر di از Ri هماني باشد. t رامقسوم عليه صفر غيرصفري از R1 و w=(1,…,1,t,1,..,1) پس

درنتيجه ann(w)ann(z)={0}



– ميانه

تعريف 1.3.2 براي هر راس x از گراف همبند G ، status x را كه با نماد s(x) نشان داده مي شود، مجموع فاصله هاي x از رئوس گراف مي باشد كه به صورت : نوشته مي شود.

تعريف 2.3.2 مجموعه اي از رئوس با status مي نيمال ميانه گراف ناميده مي شود. (خواهيم گرفت اگر Gيال نداشته باشد ميانه‌ي گراف v(G),G مي باشد و حالتي كه مجموعه‌ي رئوس گراف تهي باشد رابررسي نمي كنيم)

status روي گراف هاي متناهي معني پيدا مي كند. پس در سراسر اين بخش تمامي حلقه ها متناهي درنظر گرفته مي شوند پس گراف هاي مقسوم عليه صفر نيز متناهي مي باشند.

اگر چه مركز و ميانه به عنوان مركزيت يك گراف ارتباط دارند ولي لزومي ندارد بريكديگر منطبق باشند. ممكن است مركز زير مجموعه محض از ميانه باشد يا ميانه زير مجموعه‌ي محض از مركز، درحقيقت براي هر عدد حقيقي مثبت n مي توان گرافي همبند ساخت با تعداد متناهي رأس به طوري كه فاصله هر رأس از مركز به فاصله هر رأس از ميانه حداقل n باشد.

به طور كلي پيدا كردن ميانه ي گراف مشكل تر از يافتن مركز گراف مي باشد . قضيه‌اي كه در ادامه آمده است ارتباط بين مركز و ميانه را در مورد گراف هاي مقسوم عليه صفر از حلقه هاي جابجايي ويكدار متناهي بيان مي كند.

مي دانيم كه با توجه به تعريف گراف مقسوم عليه صفر

اگر deg(x) = x2=0

deg(x) = در غير اينصورت

قضيه 4.3.2 - فرض كنيد R يك حلقه جابجايي و يكدار متناهي باشد كه حوزه صحيح نمي باشد . اگر شعاع حداكثر 1 باشد آن گاه ميانه و مركز مساويند واگر شعاع 2 باشد آن گاه ميانه زير مجموعه اي از مركز است.

برهان: اگر شعاع صفر باشد پس گراف تنها داراي يك رأس مي باشد كه هم در مركز هم در ميانه قرار دارد پس ميانه و مركز مساويند.

اگر شعاع 1 باشد مجموعه ي رئوس مركز و ميانه برابرند پس مركز و ميانه در اين حالت هم بر هم منطبق مي باشند .

فرض مي‌كنيم شعاع 2 باشد آن گاه با توجه به نتيجه –R . 9.1.2 موضعي نيست و با يكريخت نمي باشند كه در آن K ميدان متناهي است . فرض كنيد يك تجزيه آرتيني از حلقه ي R مي باشد ( بدون كاسته شدن از كليت مسأله عناصري از R را كه در اين حاصل ضرب قرار دارند را بررسي مي كنيم) فرض Z يك رأس از باشد كه در مركز گراف قرار ندارد و به صورت z=(a1,…,an,b1,…,bm) مي باشد. در تمامي حالات ممكن يك رأس x متعلق به مركز گراف وجود دارد به طوري كه s(x) 21z(R)* 1-deg (z) –2 > 21z(R)* 1 –deg (x) –2 =s(x) s(z) >s(x)

حالت2:/ اگربراي و هر با براي (كه Mi ايده آل ماكسيمال Ri است ) فرض كنيدx= (0,..,0,ak,0,..,0) باشد كه x در مركز قرار دارد . و پس



بنابراين .با توجه به (*) و (**) داريم : s(z)>s(x) . .

حالت 3/: اگر به ازاي هر ، ai درRi هماني باشد ، فرض كنيد c يك عضو غير صفر از ايده آل هاي ماكسيمال Ri باشد x=(0,…,0,C,0,…,0) كه در مركز قرار دارد و . بنابراين



در نتيجه با توجه به (*) و (**) : s(z) > s(x) .

بنابراين در تمامي حالات ممكن يك رأس x از مركز وجوددارد كه s(x) < s(z) پس z نمي تواند در ميانه باشد پس ميانه زير مجموعه اي از مركز است .

نتيجه 5.3.2فرض كنيد R يك حلقه ي جابجايي و يكدار متناهي باشد كه حوزه صحيح نيست . اگر شعاع ، 2 باشد آن گاه مركز و ميانه برابرند اگر و تنها اگر R با حاصل ضرب مستقيمي از تعداد متناهي از كپي ها از ميدان متناهي واحد يكريخت باشد .( يعني كه F ميدان متناهي واحد و مي باشد)

برهان: روند اثبات به اين صورت است كه اگر براي ميدان متناهي F و آن گاه مركز و ميانه هردو دقيقا شامل عناصري از Fd هستند كه d-1 مولفه ي آن صفر مي باشد . از آن جا كه شعاع ,2 مي باشد پس مانند قضيه

1-4تجزيه ي آرتين R را بصورت زير در نظر مي گيريم ابتدا نشان مي‌دهيم كه اگر (يعني فاكتورهايي در تجزيه ي آرتيني موجودند كه ميدان نمي باشند) آن گاه مركز و ميانه مساوي نمي باشند.

فرض كنيد و براي هر j و براي هر i فرض كنيد : w=(0,0,…,1)كه در مركز قرار دارد . از آنجا كه



آن گاه deg (w) = r1…rnc1…cm-1-1

R1 موضعي و M1 تنها ايده آل ماكسيمال R1 و را طوري در نظر مي گيريم كه خروج از مركز ، 1 باشد . فرض كنيد x=( z, 0 , … , 0 ) كه در مركز قرار دارد .



فرض كنيد آن گاه deg(x)=kr2…rnc1…cm-2 چون annR1(z) يك ايده آل R1 است را عاد مي كند فرض مي‌كنيم r1=sk براي مقدار حقيقي s . حالا اگر ميانه مساوي با مركز باشد آ ن گاه deg(w) = deg(x) پس :

skr2…rnc1…cm-1-1= kr2…rnc1…cm-2

بعد از خلاصه كردن و فاكتور گيري داريم :

k(r2…rnc1­…cm-1)(s-cm)=-1

ولي ما در نظر گرفتيم پس به تناقض رسيديم بنابراين تجزيه آرتيني از R نبايد عامل غير ميدان داشته باشد . و هم چنين اين روندي براي اثبات اين مطلب است كه ميدان ها بايد كار ديناليته يكسان داشته باشند .

بعد از شرح قضيه 4.3.2 و نتيجه 5.3.2اكنون چند مثال را بررسي مي‌كنيم . در مواردي كه ميدان تحويل يافته داريم اگر مركز و ميانه مجموعه ي تمام رئوس مي باشند . اگر آن گاه مركز و ميانه مجموعه {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} مي‌باشند ( به شكل 2 ، صفحه 26 ) نگاه كنيد . اگر مركز و ميانه {(0و2)و(0و1)} مي باشد . در مواردي كه ميدان تحويل ناپذير باشد اگر آن گاه مركز ، {(0,1),(2,0)} و ميانه {(0,1)}مي باشد ( به شكل 1 ، صفحه 26 ) نگاه كنيد . توجه كنيد كه دو مثال آخر نشان مي دهد فقط در بعضي از موارد عناصري از ميانه پوچ توان خواهند بود .