مقاله مجموعه‌هاي مركزي و شعاع‌ها در گراف‌هاي مقسوم عليه صفر از حلقه‌هاي جابجايي

دسته بندي : علوم پایه » ریاضی
مقاله مجموعه‌هاي مركزي و شعاع‌ها در گراف‌هاي مقسوم عليه صفر از حلقه‌هاي جابجايي در 45 صفحه ورد قابل ويرايش

فهرست

عنوان................................................................................................................

پيش گفتار ........................................................................................................

خلاصه‌ي مطالب ..............................................................................................

1فصل اول .......................................................................................................

1-1مقدمه ........................................................................................................

1-2پيش نيازها ...............................................................................................

تعاريف .............................................................................................................

قضيه ها............................................................................................................

2فصل دوم ......................................................................................................

2-2مركز .........................................................................................................

2-3 ميانه ........................................................................................................

2-4 مجموعه هاي غالب ..................................................................................

منابع ..........................................................................................................................



پيش گفتار

تاريخ، خود نقطه‌ي عطف شمارگاني است كه پيوسته و ناپيوسته چهار مضراب عشق را حول محور تمركز اعداد نواخته و به اثبات حقانيت واحد، دراصول هستي پرداخته است.

امتداد جريان ثبوت حقانيت شمارگان، خواه در آن برهه از زمان كه خوارزمي اش مي‌سرود و چه در ديگر زمان ها كه اقليدس و فيثاغورثش تجلي بخشيدند، شاه بيت هاي مطلعش را با تخلص آخرش پيوند زدند تا غزل گونه اي باشد، غزل شكار، نه تجنيسش افراط بخشيدند و نه جذرش تفريط، چرا كه عدد يك واحد، دو واحد عدد يك ماند وخواهد ماند.

خلاصه‌ي مطالب

برآن شدم تا با تلاش مستمر مطالبي را از نظر گراميتان بگذرانم كه بديع باشد و قابل ارائه، اميدوارم رضايت خاطر شما خوانندگان گرامي را جلب نمايم. دراينجا خلاصه‌اي از مطالبي كه مطالعه خواهيد كرد آورده شده است.

دريك حلقه‌ي جابجايي و يكدار R، گراف مقسوم عليه صفر، ، گرافي است كه رأس هاي آن مقسوم عليه هاي صفر غيرصفر R مي باشند كه درآن دو رأس مجزاي xو y مجاورند هرگاه xy=0. اين مقاله اثباتي براين مطلب است كه اگر R نوتري باشد آن گاه شعاع ،0،1 و يا 2 مي باشد و نشان داده مي شود كه وقتي R آريتن مي‌باشد اجتماع مركز با مجموعه {0} اجتماعي از ايده آل هاي پوچ ساز است. زماني كه مركز گراف مشخص شده باشد مي توان قطر را تعيين كرد و نشان داده مي‌شود كه اگر R حلقه‌ي متناهي باشد آن گاه ميانه زير مجموعه اي از مركز آن است. زماني كه R آريتن باشد با به كاربردن عناصري از مركز مي‌توان يك مجموعه‌ي غالب از ساخت و نشان داده مي شود كه براي حلقه‌ي متناهي ، كه F ميدان متناهي است، عدد غالب مساوي با تعداد ايده آل هاي ماكسيمال مجزاي R است. و همچنين نتايج ديگري روي ساختارهاي بيان مي‌شود.

واژه هاي كليدي

مجموعه هاي مركزي؛ حلقه‌ي جابجايي؛ مقسوم عليه صفر؛ گراف مقسوم عليه صفر
فصل اول

1-مقدمه

حلقه‌ي جابجايي و يكدار R داده شده است. گراف مقسوم عليه صفر، ، گرافي است كه رأس هاي آن مقسوم عليه هاي صفر غيرصفر حلقه R مي باشند، بين دو رأس مجزاي x و y يال وجود دارد اگر وفقط اگر xy=0 باشد. گراف مقسوم عليه صفر حلقه‌ي R با نشان داده مي شود. اين تعريف از ابتدا توسط livings ston (1999) و anderson بيان شد كه تعداد زيادي از ويژگي هاي اساسي مورد بررسي قرار گرفت. تعريف اصلي توسط Beck (1988) و Nasser (1993) و Auderson بيان شد كه همه‌ي عناصر حلقه به عنوان رأس هاي گراف انتخاب مي شدند.

و anderson et al.(2001) , De meyer and Schnieider (2002), Smit (2002) مقاله‌هاي ديگري درارتباط با گراف مقسوم عليه صفر از حلقه هاي جابجايي مي‌باشند. اين ساختار هاي گرافيكي به شكل موضوع هاي جبري ديگر توسط Cannon et al.(2005) and DeMeyer et al.(2002), Redmond (2002)2003,2004) تعميم داده شده است، كه در ادامه به آن مي پردازيم.

درطول اين پژوهش برآنيم كه نتايجي را روي حلقه هاي يكدار و جابجايي متناهي بيابيم. اين نتايج براي عمومي ترين موارد ممكن بيان مي شود. هدف ارائه دادن همه‌ي نظريه هاي كاربردي از مركزيت گراف و تحقيق درمورد مفاهيم تقريباً محض از گراف هاي مقسوم عليه صفر مي باشد. ابتدا نشان داده مي شود كه شعاع هاي گراف مقسوم عليه صفر يك حلقه نوتري و جابجايي و يكدار 0، 1، 2 مي‌باشد. اين قضيه دربخش هاي بعدي براي تعريف خصوصيات سه مجموعه مركزي (مركز، ميانه و مجموعه هاي غالب با اندازه‌ي مي نيمال) درگراف هاي مقسوم عليه صفر از حلقه‌هاي جابجايي و يكدار به كاربرده مي شود. و نيز ارتباط بين اين مجموعه ها مورد بررسي قرار مي گيرد. به عنوان پيامدي از اين نتايج، ويژگي هاي ديگري از را بيان مي كنيم كه از جمله‌ي آن ها قطر و كران هاي روي تعداد يال هاي گراف مي‌باشد.

2-پيش نيازها

بالطبع لازمه‌ي پردازش به مبحث مجموعه هاي مركزي و شعاع ها در گراف هاي مقسوم عليه صفر حلقه هاي جابجايي واقف بودن به تعاريفي است كه آن را بايد پيش نياز ناميد:

تعريف1.2.1 پوچ ساز (annihilator) x مجموعه‌ي عناصر مي باشد به طوري كه xy=0 به عبارت ديگر

تعريف 2.2.1 عنصر ناصفر x درحلقه‌ي R را يك مقسوم عليه صفر (zero dirisor) گوييم هرگاه عنصر ناصفري از R مانند موجود باشد به طوري كه xy=0.





Ann(x) = ????????????/

فرض كنيد ؟؟؟؟؟ آن گاه ؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟ چون ؟؟؟؟؟؟ يك ايده آل ؟؟ است ؟؟؟؟ را ماد مي كند ؟؟؟؟ فرض ميكنيم ؟؟؟؟ براي مقدار حقيقي s . حالا اگر ميانه؟؟؟ مساوي با مركز؟؟؟ باشد آ نگاه deg(w) = deg(x) پس : ؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟

بعد از خلاصه كردن و فاكتور گيري داريم :

؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟???????????????????

ولي ما ؟؟؟؟ در نظر گرفتيم پس به تناقض رسيديم بنابراين تجزيه آرتين از R نبايد عامل غير ميدان داشته باشد . و هم چنين اين روندي براي اثبات اين مطلب است كه ميدان ها بايد ديناليته يكسان داشته باشند . بعد از شرح قضيه 4.3.2 و نتيجه 5.3.2 اكنون چند مثال را بررسي ميكنيم . در مواردي كه ميدان ؟؟؟ يافته داريم اگر ؟؟؟؟ مركز و ميانه ؟؟؟ مجموعه ي تمام رئوس مي باشند . اگر ؟؟؟؟؟؟؟ آن گاه مركز و ميانه ؟؟؟ مجموعه ؟؟؟؟؟؟؟؟؟ مي باشند ( به شكل 2 ، صفحه 26 ) نگاه كنيد . اگر ؟؟؟؟؟؟ مركز ؟؟؟؟؟؟ و ميانه ؟؟؟؟؟؟؟؟ مي باشد . در مواردي كه ميدان تحويل ناپذير باشد اگر ؟؟؟ آن گاه مركز ؟؟؟؟ ، ؟؟؟؟؟؟ و ميانه ؟؟؟؟؟ مي باشد ( به شكل 1 ، صفحه 26 ) نگاه كنيد . توجه كنيد كه دو مثال آخر نشان مي دهد فقط در بعضي از موارد عناصري از ميانه پوچ توان خواهند بود .

-4-2 – مجموعه هاي غالب و كار بردهاي ديگر (Domainting sets)

تعريف 1.4.2 براي هر گراف G يك مجموعه غالب زير مجموعه اي مانند s از v(G) (مجموعه ي رئوس گراف G ) مي باشد به طوري كه هر رأس گراف G در S و يا هر رأس گراف گراف G از عناصر S مجاور مي باشد .

تعريف 2.4.2 براي هر گراف G اندازه ي كوچك ترين مجموعه ي غالب ممكن را عدد غلبه مي ناميم .

تعريف 3.4.2يك مجموعه غالب S را همبند مي ناميم هر گاه زير گراف القايي توليد شده توسط S ( زير گراف H از G با مجموعه ي رأس هاي S كه دقيقا رأس هايي در H مجاورند كه در G مجاورند ) همبند باشد .

تعريف 4.4.2 اندازه ي كوچك ترين مجموعه ي غالب همبند را عدد غلبه همبندي مي ناميم . مجموعه هاي غالب و مجموعه هاي غالب همبند با اندازه ي مي نيمال را مي توان به عنوان اندازه هاي ديگري از مركزيت در گراف در نظر گرفت.

قضيه 6.4.2 فرض كنيد R يك حلقه ي جابجايي و يكدار آرتين باشد كه حوزه صحيح نيست . اگر شعاع(R) ? حد اكثر يك باشد آ نگاه عدد غلبه (R) ؟ ، 1 است . اگر شعاع (R) ؟ ، 2 باشد آن گاه عدد غلبه (R) ؟ ؤ برابر با تعداد عوامل در تجزيه ارتين R مي باشد . بويژه عدد احاطه كننده متناهي و حداقل 2 مي باشد .

برهان : اگر شعاع حداكثر 1 باشد : دو حالت داريم : اگر شعاع 0 باشد تنها يك رأس داريم و عدد غلبه 1 مي باشد و حكم بديهي است . اگر شعاع 1 باشد ، و هر عضو از مركز (R) ؟ يك مجموعه غالب تشكيل مي دهد ( زيرا ماكسيمم فاصله هر رأس از مركز 1 مي باشد يعني هر رأس مركز با ديگر رئوس مجاور مي باشد بنابراين هر رأس مركز مي تواند يك مجموعه ي غالب تشكيل دهد ) پس عدد غلبه كه اندازه كوچكترين مجموعه غالب ممكن است 1 مي‌شود و حكم ثابت مي شود.

حال فرض كنيم شعاع (R) ؟ 2 باشد ثابت مي كنيم عدد غلبه (R) ؟ با تعداد فاكتورها در تجزيه آرتين R برابر مي باشد .

فرض كنيم شعاع (R) ؟ ، 2 و R= ????????????/

تجزيه ي آرتين R باشد . براي هر I=1, …, n و xi ثابت در مركز (Ri) ؟ را در نظر مي گيريم و yi را به صورت زير تعريف مي كنيم . yi= (0…..,0,xi,0,….,….,0) و براي هر j= 1,…,m ، zj را به صورت زير در نظر مي گيريم : zj = ( 0,…,0,1,0,…,0) كه در ايه ي n+j ام از fj هماني مي باشد . مجموعه ي غالب s به صورت : s=???????????? خواهد بود توجه كنيد كه همه ي عناصر مجاورند .

فرض كنيد w=(????????????????) يك رأس (R) ؟ است آن گاه w با مختصات مشخص شده يك مقسوم عليه صفر از حلقه هايمربوط مي باشد . اگر براي هر ؟؟؟؟؟ يك مقسوم عليه صفر باشد آن گاه w با yi مجاور است . اگر براي هر مقدار ؟؟؟؟

، bj=0 باشد آن گاه w با zj مجاور است . پس هر عضو از مجموعه رأس هاي (R) ؟ با عضوي از S يك مجموعه غالب ميباشد.

حال فرض مي كنيم شعاع (R) ؟ ، 2 است و B يك مجموعه غالب و ؟؟؟؟‌از آن جا كه (R) ؟ هيچ رأس مجاور با همه رئوس ندارد (شعاع 2 است) ، n+m?3 در نظر مي گيريم براي هر k=1 , …, n+m ، ؟؟؟؟؟؟؟؟؟ مي باشد كه صفر درايه ي k ام است . هر ؟؟ يك رأس گراف (R) ؟ مي باشد (مقسوم عليه صفر ميباشد ) براي هر k : ؟؟؟ يا ؟؟ با يك عضو از B مجاور ميباشد . پس يا ؟؟؟؟ يا يك عضو ؟؟؟؟؟؟ وجود دارد كه اگر ؟؟؟؟؟؟؟ آن گاه ؟؟؟؟؟؟؟ ؟؟؟ و اگر ؟؟؟؟؟؟ آن گاه ؟؟؟؟؟؟ پس B حداقل n+m عضو دارد .

يك نتيجه مستقيم از قضيه ي بالا اين است كه (R) ؟ ، 2 باشد آن گاه عدد غلبه با تعداد ايده آل هاي ماكسيمال مجزا از R مساوي مي باشد ولي ممكن است زماني كه شعاع 1 است اين نتيجه برقرار نباشد . براي مثال ؟؟؟؟؟؟ يك گراف ستاره است براي هر ميدان F كه شعاع آن 1 مي باشد ولي ؟؟؟ در ايده آل ماكسيمال مجزا دارد . نتيجه اي كه در ادامه آمده است ارتباط بين عدد غلبه و تعداد ايده آل هاي ماكزيمال را در موارد متناهي بيان مي كند .

نتيجه 7.4.2 – فرض كنيد R يك حلقه جابجايي و يكدار متناهي باشد كه ميدان نيست . فرض كنيد M عدد غلبه (R) ؟ باشد . اگر (R) ؟ گراف ستاره نباشد آ ن گاه R ، M ايده ال ماكسيمالمجزا دارد . اگر (R) ؟ گراف ستاره باشد آ ن گاه R ، 2 ايده آل ماكسيمال مجزا دارد يا R با 5 حلقه موصفي و؟ ؟؟؟؟ ، ؟؟؟ ؟؟؟؟؟؟؟؟ ، ؟؟؟؟؟؟؟ ، يكريخت مي باشد ( به عبارت ديگر اگر (R) ؟ يك گراف ستاره باشد : اگر R موضعي باشد آ ن گاه R ، M ايده آل ماكسيمال مجزا دارد .

برهان : اگر (R) ؟ گراف ستاره نباشد : اگر شعاع (R) ؟ 0 يا 1 باشد ان گاه R موضعي و M=1 است . اگر شعاع (R) ؟ ، 2 باشد آن گاه در قضيه قبل (6.4.2) ديديم كه تجزيه آرتين R ، M فاكتور دارد . كه نتيجه مي دهد R ، M ايده آل ماكسيمال مجزا دارد .