مقاله بررسی علم احتمال

دسته بندي : علوم پایه » ریاضی
مقاله بررسي علم احتمال در 22 صفحه ورد قابل ويرايش
فهرست مطالب
عنوان صفحه

تاريخچه................................................................................................................. 1

احتمال.................................................................................................................... 4
احتمال نظري......................................................................................................... 5

احتمال تجربي........................................................................................................ 5

احتمال ذهني.......................................................................................................... 6

محاسبه احتمال...................................................................................................... 6

جمع حوادث سازگار............................................................................................. 7

ضرب حوادث مستقل............................................................................................ 7

ضرب حوادث وابسته............................................................................................ 8

اصول اساسي قانون ضرب.................................................................................. 9

جايگشت (تبديل)..................................................................................................... 11

ترتيب..................................................................................................................... 13

قاعده ترتيب........................................................................................................... 14

تركيب.................................................................................................................... 15
ويژگيهاي تركيب.................................................................................................... 18
توصيف احتمال يك حادثه..................................................................................... 18
خلاصه................................................................................................................... 19



تاريخچه

هيچ كس نمي داند كه اعتقاد به شانس براي نخستين بار در چه زماني و مكاني مطرح شد. در هر حال اين امر در دوران ماقبل تاريخ ريشه دارد. با اين حال، اسناد كافي نشان مي دهد كه انسانهاي اوليه براي توجيه حوادث تصادفي به وسايلي متوسط مي شده اند. براي مثال در آسياي صغير در آيين پيشگويي مرسوم بود كه پنج قاپ را بيندازند. ترتيب ممكن از قاپها، نام خدايي را به همراه داشت (ماركس و لارسن، 1990). براي مثال چنانچه ترتيب (4، 4، 3، 1) به دست مي آمد (قاپ شش وجه دارد و به هر وجه آن يك شماره اختصاص داده مي شد). گفته مي شد زئوس منجي آمده است و چنين ترتيبي پنشاني از قوت قلب تلقي مي شد و تفسير آن اين بود كه آنچه در سر داري،‌ بي مهابا به انجام برسان. يا اگر ترتيب 4، 4، 4، 6، 6 ظاهر مي شد معناي آن اين بود كه در خانه ات بمان و به هيچ كجا مرو.

به تدريج پس از گذشت هزاران سال، تاس جانشين قاپ شد. در مقبره هاي مصر كه 2000 سال پيش از ميلاد مسيح ساخته شده اند، تاسهاي سفالي به دست آمده اند. متداول ترين تاس بازي آن زمان هازاد نام داشت. هازاد توسط سربازاني كه از جنگهاي صليبي بازگشتند، به اروپا آورده شد. ورق براي نخستين بار در قرن چهاردهم رواج پيدا كرد.

مورخان در مورد اين كه اعتقاد به احتمال شروع نامشخصي دارد اتفاق نظر دارند. شايد دليل اين امر ناسازگاري آن با عامل بارز موثر در تحول فرهنگ غرب، يعني فلسفه يونان و خداشناسي مسيحيان در صدر مسيحيت باشد. يونانيان به عقيده شانس اكتفا مي كدرند در صورتي كه مسيحيان چنين اعتقادي نداشتند. در قرن شانزده احتمال سر از خاك برداشت. سازماندهي و احيا آن توسط جرولامو كاردان انجام گرفت. علاقه كاردان كه ظاهراً تحصيلاتي در رشته پزشكي داشت، به قوانين احتمال، ناشي از ميل وافر او به قمار بود. او در صدد دستيابي به يك الگوي رياضي بود تا با كك آن بتواند حوادث اتفاقي را تشريح كند. آنچه كه او سرانجام تدوين كرد تعريف كلاسيك احتمال است. به اين صورت كه در صورتي كه تعداد نتايج ممكن حادثه اي كه همه داراي احتمال يكسان هستند را با n نشان دهيم و چنانچه m نتيجه از n نتيجه ممكن اتفاق بيفتد، احتمال آن حادثه مساوي است. براي مثال در صورتي كه تاسي بدون اريبي باشد،‌ 6 ممكن (6= n) خواهد شد (نتايج 5 و 6) و احتمال 5 يا بزرگتر از آن مساوي يا خواهد بود.

كاردان ابتدايي ترين اصول احتمال را مطرح كرده بود. الگويي كه او كشف كرده بود ممكن است پيش پا افتاده به نظر برسد اما حاكي از گامي عظيم بود. بسياري از مورخان نقطه آغاز علم احتمال را سال 1654 مي دانند. در پاريس قمار باز ثروتمندي به نام شواليه دمور از چند رياضي دان برجسته از قبيل بلز پاسكال سوالهايي پرسيد كه معروفترين آنها درباره نقاط بود.

دو نفر، الف و ب، موافقت مي كنند كه بدون تقلب مجموعه اي بازي را تا زماني كه يك نفر از آنها شش دست برنده شود، ادامه دهند. هر كدام از اين دو نفر بر سر مبلغ يكساني شرط بندي مي كنند با اين قصد كه برنده كل، تمام مبلغ شرط بندي (بانك) را برنده شود. حال فرض كنيد به هر دليلي اين بازيها قبل از موقع پايان پذيرد، مثلا در نقطه يا مرحله اي كه فرد الف 5 دست و فرد ب 3 دست برنده شده باشد. در اين مرحله يا نقطه از بازي، پول شرط بندي شده چطور بايد تقسيم شود؟ پاسخ صحيح اين است كه فرد الف بايد كل مبلغ شرط بندي شده را دريافت كند. چرا مبلغ شرط بندي شده بايد به اين ترتيب تقسيم شود؟

با طرح سوالهاي دمور، حس كنجكاوي پاسكال برانگيخته شد و نظر خود را با پير فرما، كارمند دولت و احتمالاً برجسته ترين رياضي دان اروپا، در ميان گذاشت. فرما با روي گشاده از نظر پاسكال استقبال كرد و از همان موقع بود كه نظريه معروف تناظر پاسكال- فرما نه تنها براي حل مسائل نقاط مطرح شد بلكه شالوده اي براي كارهاي اساسي تر گرديد.خبر آنچه كه فرما و پاسكال يافته بود انتشار يافت و ديگران هم به مطالعه اين مساله پرداختند. معروفترين آنها دانشمند و رياضي دان هلندي كريستيان هاي جنز است كه نام او بيشتر به خاطر كارهايش در نورشناسي و نجوم در خاطرها مانده است. توجه هاي جنز در همان اوايل كارش به مسائل نقاط جلب شد. وي در سال 1657 كتاب محاسبات در بازيهاي احتمالي را منتشر ساخت كه قريب 50 سال به عنوان كتاب درسي درباره نظريه احتمال تدريس مي شد (لارسن و ماركس، 1990). طرفداران هاي جنز او را بنيانگذار احتمالات مي دانند.


احتمال

مفهوم احتمال به صورتهاي مختلف در زندگي به كار برده مي شود، احتمال به صورت كلي به درست نمايي اتفاق افتادن حادثه تعريف شده است. اين درست نمايي غالباً با P نشان داده ميشود و عبارت از نسبت اتفاق افتادن حادثه اي كه انتظار وقوع آن مي رود. ارزش مقداري احتمال بين صفر تا 1 قرار دارد. ارزش 1 براي پيشامد حتمي و ارزش صفر براي نشان دادن اينكه شانس يا احتمال وقوع حادثه معيني وجود ندارد، به كار برده مي شود. در زندگي حوادث نادري وجود دارند كه احتمال وقوع آنها به صورت مطلق حتمي است. به طور كلي، هرگاه تمام حوادث مورد سوال به صورت دقيق و روشن تعريف شوند، احتمال وقوع يك حادثه معين، P ، مساوي است با تعداد شيوه هايي كه آن حادثه اتفاق مي افتد تقسيم بر تعداد كل حالتها. به عبارت ديگر، P مساوي است با تعداد حالتهاي مساعد تقسيم بر مجموع كل حالتها. براي مثال، در صورتي كه تاس بدون اريبي را رها كنيم احتمال اين كه هر يك از شش وجه آن به زمين بنشيند مساوي است و احتمال اين كه هر يك از شماره هاي 2، 4 يا 6 به زمين بنشيند مساوي يا 5/0 است.

همان طور كه گفته شد احتمال وقوع حادثه معيني را با P نشان مي دهند. احتمال عدم وقوع همان حادثه را با q نشان مي دهند. مجموع P و q هميشه مساوي يك است (p+q=1). براي مثال، در صورتي كه سكه بدون اريبي را پرتاب كنيم، اگر احتمال آمدن طرف اول آن يا 5/0 است و جمع اين دو احتمال مساوي 1 است (p+q=1). در صورتي كه وقوع يك حادثه در احتمال وقوع حادثه ديگر تاثيري نداشته باشد، آنها را مستقل گويند. حوادث مركب به حوادثي گفته مي شوند كه از دو يا چند حادثه ساده تشكيل شده باشند، مانند امكان آمدن دو تا 4 در دو مرتبه انداختن تاس.
احتمال نظري

فرض كنيد تاسي را رها كرده‌ايد چون اين تاس داراي 6 وجه است و احتمال آمده هر كدام از وجوه آن نيز مساوي است بنابراين احتمال آمده هر يك از وجوه اين تاس مساوي است. اين احتمال را نظري مي‌نامند زيرا بر اساس مفروضه‌هاي نظري محاسبه مي‌شود. براي مثال در صورتي كه در يك مسابقه ورزشي براي پيروزي تيمي 4000 ريال به 1000 ريال شرط بندي كنيم، در اين شرط بندي نظر ما اين است كه 4 به يك به نفع ما خواهد بود، يعني در نظر ما، تيمي كه طرفدار آن هستيم از پنج بازي، امكان چهار موفقيت دارد. بنابراين احتمال اينكه تيم مزبور برنده شود، يا 8/0 است. اين امكان بيشتر جنبه نظري دارد.

ويژگيهاي تركيب

نماد nCr داراي ويژگيهاي جالبي است . يكي از معروفترين آنها مثلث پاسكال است كه يك آرايش عددي است كه در آن هر عدد برابر با مجموع دو عددي است كه در دو گوشه فوقاني آن قرار دارد. چنانچه رديفها و ستونها را شماره گذاري كنيم. به اين ترتيب كه در راس مثلث از صفر شروع كنيم و شماره گذاري ستونها را از چپ به راست انجام دهيم، هر عدد را مي توان با نماد nCr جايگزين كرد.

ويژگي دوم آن عبارت از اين است كه اگر در فرمول nCr تركيبهاي (n-r) به (n-r) از n حرف را در نظر بگيريم رابطة زير همواره وجود خواهد داشت:

n-rCr = nCr

ويژگي سوم . همواره داريم:

nCr+ nCr-1 = n+1Cr

در صورتي كه در معادله فوق 1= r باشد، رابطه زير حاصل خواهد شد:

0 nCr+ nC = n+1Cr

چنانچه r=n باشد ويژگي دوم به صورت زير خواهد شد:

1 = 0 nC = nCr
توصيف احتمال يك حادثه

در اصطلاح احتمالات، مجموعه از نتايج ممكن همراه با هر آزمايش، فضاي نمونه (S) ناميده مي شود و به مجموعه اي از نتايج متعلق به فضاي نمونه كه براي بعضي شرايط لازم يا كافي است واقعه گفته مي شود. احتمال حادثه اي نظير A را با P(A) نشان مي دهند. فرض كنيد سكه اي را به هوا پرتاب كرده ايم. فضاي نمونه مساوي 2 است، زيرا هر يك از دو طرف سكه مي تواند بر زمين بنشيند. A نشان دهنده واقعه موردنظر، شير يا خط است . احتمال واقعه A مساوي يك دوم است. بنابراين مي توان نوست: و لي چگونه مي توان اين احتمال را تفسير كرد؟ آيا اين بدين معنيا ست كه از هر دوبار انداختن سكه،‌يك بار روي آن مي آيد؟ البته خير. نكته اي كه بيان مي‌كند اين است چنانچه سكه سالمي را به دفعات متعدد رها سازيم، نسبت نشستن خط به مجموع حالات ممكن مساوي است.

خلاصه

هيچ كس نمي داند كه شانس در چه زمان و مكاني براي اولين بار مطرح شد. احتمال شروع نامشخصي دارد. احتمال در قرن شانزده مطرح گرديد و سازماندهي آن توسط جرولامو كاردان صورت گرفت. در صورتي كه تعداد نتايج ممكن حادثه اي را به n نشان دهيم و چنانچه m نتيجه از اين n نتايج اتفاق بيفتد،‌ احتمال آن حادثه مساوي است. امروزه احتمال به شكلهاي مختلف به كار برده مي شود و به طور كلي عبارت است از درست نمايي اتفاق افتادن يك حادثه معين. اين درست نمايي با P نشان داده مي شود و مقدار آن بين صفر تا 1 قرار دارد. احتمال داراي شكلهاي مختلفي است. احتمال نظري براساس مفروضات نظري تعريف و تعيين مي شود. احتمال تجربي كه برپايه مفروضات تجربي قرار دارد و احتمال ذهني كه براي محاسبه احتمالهاي روزمره به كاربرده مي شود، بر دلايل ذهني مبتني است.

در احتمال ، محاسبات براساس دو قانون جمع و ضرب انجام مي شود. قانون جمع زماني به كار برده مي شود كه يكي از دو حادثه اتفاق بيفتد، در صورتي كه از ضرب در شرايطي استفاده مي شود كه دو حادثه با هم اتفاق بيفتند. قانون جمع براي دو حادثه ناسازگار (حوادثي كه وقوع يكي از آنها وقوع ديگري است) عبارت است از:

P(A)+P(B)= (B يا A)P در صورتي كه اين قانون براي حوادث سازگار (كه امكان وقوع آنها به صورت همزمان وجود دارد) به صورت:

P(A)+P(B)-P(A,B)= B) يا P(A نوشته مي شود. چنانچه دو حادثه مستقل (يعني حوادثي كه وقوع يا عدم وقوع هر يك در احتمال وقوع يا عدم وقوع حادثة ديگر تأثير ندارد) داشته باشيم، احتمال اين كه هر دو تاي آنها اتفاق بيفتد مساوي حاصل ضرب احتمال وقوع هر يك از آنها است. P(A)* P(B)= (B يا A)P . در صورتي كه دو حادثه وابسته باشند (يعني احتمال وقوع يكي به احتمال وقوع يا عدم وقوع ديگري بستگي داشته باشد)،احتمال آن كه هر دوي آنها اتفاق بيفتند مساوي است با P(A)* P(B)= (B يا A)P .

در صورتي كه شيوه هاي ممكن در انجام مراحل متوالي كاري را به nk , … , n2, n1 نشان دهيم، ترتيب اجراي مراحل از n1 تا k مساوي است با nk … * n3 * n2 * n1 . تعداد گروههاي حاصل از تبديل يا جايگشت (شيوه هاي مختلف قرار گرفتن افراد يا اشيا در كنار هم) عبارت است از: Pn = n! .